B

\(\Leftrightarrow\left(cosx+1\right)\left(4cos2x-m.cosx\right)=m\left(1-cosx\right)\left(1+cosx\right)\)

\(\Leftrightarrow4cos2x-m.cosx=m\left(1-cosx\right)\)

\(\Leftrightarrow4cos2x=m\)

\(\Rightarrow cos2x=\dfrac{m}{4}\)

Pt có đúng 2 nghiệm thuộc đoạn đã cho khi và chỉ khi:

\(-1< \dfrac{m}{4}\le-\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow-4< m\le-2\)

Có 2 giá trị nguyên của m thỏa mãn

\(\Leftrightarrow2\left(cos^2x-sin^2x\right)+sinx.cosx\left(sinx+cosx\right)=m\left(sinx+cosx\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(2cosx-2sinx\right)\left(sinx+cosx\right)+sinx.cosx\left(sinx+cosx\right)=m\left(sinx+cosx\right)\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sinx+cosx=0\left(\text{vô nghiệm trên đoạn xét}\right)\\2cosx-2sinx+sinx.cosx=m\left(1\right)\end{matrix}\right.\) 

Xét (1), đặt \(t=cosx-sinx=\sqrt{2}cos\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}t\in\left[-1;1\right]\\sinx.cosx=\dfrac{1-t^2}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow2t+\dfrac{1-t^2}{2}=m\)

Xét hàm \(f\left(t\right)=-\dfrac{1}{2}t^2+2t+\dfrac{1}{2}\) trên \(\left[-1;1\right]\)

\(-\dfrac{b}{2a}=2\notin\left[-1;1\right]\) ; \(f\left(-1\right)=-2\) ; \(f\left(1\right)=2\)

\(\Rightarrow-2\le f\left(t\right)\le2\Rightarrow-2\le m\le2\)

Từ đường tròn lượng giác, trên \(\left(-\dfrac{\pi}{2};3\pi\right)\):

- Nếu \(0< t< 1\) thì \(sinx=t\) có 4 nghiệm

- Nếu \(-1< t< 0\) thì \(sinx=t\) có 3 nghiệm

- Nếu \(t=0\) thì \(sinx=t\) có 3 nghiệm

- Nếu \(t=1\) thì \(sinx=t\) có 2 nghiệm

- Nếu \(t=-1\) thì \(sinx=t\) có 1 nghiệm

Do đó pt đã cho có 5 nghiệm pb trong khoảng đã cho khi:

\(2t^2-\left(5m+1\right)t+2m^2+2m=0\) có 2 nghiệm pb thỏa mãn:

- TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}t_1=-1\\0< t_2< 1\end{matrix}\right.\)

- TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}-1< 0< t_1\\t_2=1\end{matrix}\right.\)

- TH3:  \(\left\{{}\begin{matrix}t_1=0\\t_2=1\end{matrix}\right.\)

Về cơ bản, chỉ cần thay 1 nghiệm bằng 0 hoặc 1 rồi kiểm tra nghiệm còn lại có thỏa hay ko là được

a) Pt\(\Leftrightarrow\left(sin^2x+cos^2x\right)^3-3sin^2xcos^2x\left(sin^2x+cos^2x\right)+3sinx.cosx-\dfrac{m}{4}+2=0\)

\(\Leftrightarrow1-\dfrac{3}{4}sin^22x-\dfrac{3}{2}sin2x-\dfrac{m}{4}+2=0\)

\(\Leftrightarrow-3sin^22x-6sin2x-m+12=0\)

Đặt \(t=sin2x;t\in\left[-1;1\right]\)

Pttt: \(-3t^2-6t-m+12=0\)

\(\Leftrightarrow-3t^2-6t+12=m\) (1)

Đặt \(f\left(t\right)=-3t^2-6t+12;t\in\left[-1;1\right]\) 

Vẽ BBT sẽ tìm được \(f\left(t\right)_{min}=3;f\left(t\right)_{max}=15\)\(\Leftrightarrow3\le f\left(t\right)\le15\)\(\Rightarrow m\in\left[3;15\right]\) thì pt (1) sẽ có nghiệm

mà \(m\in Z\) nên tổng m nguyên để pt có nghiệm là 13 m

Vậy có tổng 13 m nguyên

b) Pt\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sinx=1\left(1\right)\\2cos^2x-\left(2m+1\right)cosx+m=0\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Từ (1)\(\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\left(k\in Z\right)\)

\(x\in\left[0;2\pi\right]\Rightarrow0\le\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\le2\pi\)\(\Leftrightarrow-\dfrac{1}{4}\le k\le\dfrac{3}{4}\)\(\Rightarrow k=0\)

Tại k=0\(\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{2}\)

Để pt ban đầu có 4 nghiệm pb \(\in\left[0;2\pi\right]\)

\(\Leftrightarrow\) Pt (2) có 3 nghiệm pb khác \(\dfrac{\pi}{2}\)

Xét pt (2) có: \(2cos^2x-\left(2m+1\right)cosx+m=0\)

Vì là phương trình bậc hai ẩn \(cosx\) nên pt (2) chỉ có nhiều nhất ba nghiệm \(\Leftrightarrow\) Pt (2) có một nghiệm cosx=0

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\) mà \(x\ne\dfrac{\pi}{2}\)

\(\Rightarrow\) Pt (2) chỉ có nhiều nhất hai nghiệm

\(\Rightarrow\) Pt ban đầu không thể có 4 nghiệm phân biệt

Vậy \(m\in\varnothing\)